Periodische Dezimalzahlen In Bruch Umwandeln

Periodische Dezimalzahlen, also Dezimalzahlen, bei denen sich eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft wiederholt, scheinen auf den ersten Blick eine mathematische Kuriosität zu sein. Tatsächlich stellen sie aber rationale Zahlen dar und lassen sich somit exakt als Brüche darstellen. Dieser Artikel erklärt Ihnen, wie Sie eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln können, ohne dabei zu stark zu vereinfachen.

Grundlagen: Was ist eine periodische Dezimalzahl?

Eine periodische Dezimalzahl ist eine Dezimalzahl, bei der sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Gruppe von Ziffern unendlich oft wiederholt. Diese sich wiederholende Ziffer oder Ziffernfolge wird als Periode bezeichnet. Es gibt zwei Haupttypen:

• Reinperiodische Dezimalzahlen: Die Periode beginnt direkt nach dem Komma, z.B. 0,3333... oder 0,123123123...
• Gemischtperiodische Dezimalzahlen: Zwischen dem Komma und dem Beginn der Periode gibt es eine nicht-periodische Ziffernfolge, z.B. 0,16666... oder 1,23454545...

Die Periode wird oft durch einen Strich über den sich wiederholenden Ziffern gekennzeichnet. Zum Beispiel: 0,3 steht für 0,3333... und 1,234 steht für 1,234234234...

Reinperiodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Die Umwandlung reinperiodischer Dezimalzahlen ist relativ einfach.

Schritt 1: Nennen Sie die periodische Dezimalzahl x.

Schritt 2: Multiplizieren Sie x mit einer Zehnerpotenz, sodass die Periode einmal vollständig vor das Komma verschoben wird. Die Zehnerpotenz entspricht der Anzahl der Ziffern in der Periode. Hat die Periode beispielsweise eine Ziffer (wie bei 0,3), multiplizieren Sie mit 10. Hat die Periode zwei Ziffern (wie bei 0,12), multiplizieren Sie mit 100, usw.

Schritt 3: Subtrahieren Sie die ursprüngliche Zahl x von dem Ergebnis aus Schritt 2. Dadurch verschwindet die Periode nach dem Komma.

Schritt 4: Lösen Sie die Gleichung nach x auf. Das Ergebnis ist der Bruch.

Beispiel: Wandeln Sie 0,3 in einen Bruch um.

1. x = 0,3
2. 10x = 3,3
3. 10x - x = 3,3 - 0,3 => 9x = 3
4. x = 3/9 = 1/3

Beispiel 2: Wandeln Sie 0,123 in einen Bruch um.

1. x = 0,123
2. 1000x = 123,123
3. 1000x - x = 123,123 - 0,123 => 999x = 123
4. x = 123/999 = 41/333

Gemischtperiodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Die Umwandlung gemischtperiodischer Dezimalzahlen ist etwas komplizierter, folgt aber einem ähnlichen Prinzip.

Schritt 1: Nennen Sie die periodische Dezimalzahl x.

Schritt 2: Multiplizieren Sie x mit einer Zehnerpotenz, sodass die gesamte nicht-periodische Ziffernfolge und die Periode einmal vor das Komma verschoben werden.

Schritt 3: Multiplizieren Sie x mit einer Zehnerpotenz, sodass nur die nicht-periodische Ziffernfolge vor das Komma verschoben wird.

Schritt 4: Subtrahieren Sie das Ergebnis aus Schritt 3 von dem Ergebnis aus Schritt 2. Dadurch verschwindet die Periode nach dem Komma und die nicht-periodische Ziffernfolge wird eliminiert.

Schritt 5: Lösen Sie die Gleichung nach x auf. Das Ergebnis ist der Bruch.

Beispiel: Wandeln Sie 0,16 in einen Bruch um.

1. x = 0,16
2. 100x = 16,6
3. 10x = 1,6
4. 100x - 10x = 16,6 - 1,6 => 90x = 15
5. x = 15/90 = 1/6

Beispiel 2: Wandeln Sie 1,2345 in einen Bruch um.

1. x = 1,2345
2. 10000x = 12345,45
3. 100x = 123,45
4. 10000x - 100x = 12345,45 - 123,45 => 9900x = 12222
5. x = 12222/9900 = 2037/1650 = 679/550

Zusammenfassung

Die Umwandlung periodischer Dezimalzahlen in Brüche ist ein wichtiger Bestandteil des Verständnisses rationaler Zahlen. Durch das Anwenden der beschriebenen Schritte können Sie jede periodische Dezimalzahl exakt als Bruch darstellen. Der Schlüssel liegt darin, die Periode durch geschicktes Multiplizieren und Subtrahieren zu eliminieren und anschließend die resultierende Gleichung aufzulösen. Denken Sie daran, das Ergebnis, wenn möglich, zu kürzen, um den einfachsten Bruch zu erhalten.