Lat Was Zu Beweisen War
Der Ausdruck "Was zu beweisen war" (lateinisch: quod erat demonstrandum, abgekürzt Q.E.D.) ist eine klassische Wendung, die traditionell am Ende eines mathematischen Beweises oder einer logischen Argumentation verwendet wird. Er signalisiert dem Leser, dass der Beweis oder die Argumentation erfolgreich abgeschlossen wurde und das ursprünglich aufgestellte Ziel, die zu beweisende Aussage, nunmehr tatsächlich bewiesen ist.
Ursprung und Bedeutung
Der Ursprung der Phrase liegt in der antiken griechischen Mathematik, insbesondere in den Werken von Euklid. Euklid nutzte in seinen "Elementen" (einem der einflussreichsten mathematischen Werke der Geschichte) eine ähnliche Formulierung, um das Ende seiner geometrischen Beweise zu markieren. Die lateinische Übersetzung "quod erat demonstrandum" wurde später zur Standardformulierung in der wissenschaftlichen Literatur, insbesondere in der Mathematik und Philosophie. Die deutsche Übersetzung "Was zu beweisen war" behielt die Bedeutung bei und wurde ebenso gebräuchlich.
Die Bedeutung von "Was zu beweisen war" geht über eine bloße formale Schlussformel hinaus. Sie drückt ein Gefühl der Vollständigkeit und Gewissheit aus. Sie signalisiert, dass alle notwendigen Schritte unternommen wurden, alle Voraussetzungen erfüllt sind und die Schlussfolgerung unweigerlich aus den gegebenen Annahmen folgt. Sie ist ein Zeichen des Triumphs der Logik und des Beweises.
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Anwendung in der Mathematik
In der Mathematik wird "Was zu beweisen war" typischerweise nach dem letzten Schritt eines formalen Beweises platziert. Dies kann in verschiedenen Formaten geschehen, oft als ausgeschriebener Satz, aber auch als Abkürzung Q.E.D. oder symbolisch als ein kleines ausgefülltes Quadrat (⧠), das als "Halmos-Symbol" bekannt ist (benannt nach dem Mathematiker Paul Halmos, der es populär machte).
Betrachten wir ein einfaches Beispiel: Den Beweis, dass die Summe zweier gerader Zahlen immer gerade ist:
Beweis:
Seien x und y zwei beliebige gerade Zahlen. Per Definition bedeutet das, dass x = 2a und y = 2b für irgendwelche ganzen Zahlen a und b.
Betrachten wir die Summe x + y. Wir können sie schreiben als 2a + 2b.
Durch Ausklammern der 2 erhalten wir 2(a + b).
Da a und b ganze Zahlen sind, ist auch a + b eine ganze Zahl. Nennen wir sie c, also c = a + b.
Dann ist x + y = 2c.
Da x + y als das Doppelte einer ganzen Zahl geschrieben werden kann, ist x + y per Definition gerade.
Was zu beweisen war.
Verwendung außerhalb der Mathematik
Obwohl "Was zu beweisen war" primär im Kontext der Mathematik verwendet wird, findet es auch Anwendung in anderen Disziplinen, insbesondere in der Philosophie und der Logik. In der Philosophie kann es verwendet werden, um das Ende einer logischen Argumentation zu markieren, bei der eine bestimmte These durch eine Reihe von Prämissen und Schlussfolgerungen bewiesen wurde. Es wird signalisiert, dass die ursprüngliche Behauptung erfolgreich verteidigt wurde.
Die Phrase kann auch ironisch oder humorvoll verwendet werden, um auf eine vermeintlich offensichtliche oder trivial bewiesene Tatsache hinzuweisen. Diese ironische Verwendung unterstreicht oft die Einfachheit des Arguments oder die Selbstverständlichkeit der Schlussfolgerung.
Moderne Alternativen
Obwohl "Was zu beweisen war" nach wie vor ein weit verbreiteter Ausdruck ist, bevorzugen einige moderne Mathematiker und Wissenschaftler andere Formulierungen oder Symbole. Das bereits erwähnte Halmos-Symbol (⧠) ist eine beliebte Alternative. Manche Autoren verwenden auch einfach Formulierungen wie "Beweis abgeschlossen" oder verzichten gänzlich auf eine explizite Kennzeichnung des Beweisschlusses, indem sie stattdessen den Beweis klar und präzise darstellen.
Die Bedeutung von "Was zu beweisen war" liegt jedoch nicht nur in der formalen Anwendung, sondern auch in der Idee, dass ein Problem vollständig gelöst und ein Beweis wasserdicht ist. Ob man nun "Was zu beweisen war", Q.E.D. oder das Halmos-Symbol verwendet, das Ziel bleibt dasselbe: die Gewissheit und Vollständigkeit des Beweises zu signalisieren.
