Formula Of The Variance

Die Varianz ist ein zentrales Konzept in der Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie beschreibt die Streuung oder die Verteilung einer Menge von Datenpunkten um ihren Mittelwert. Kurz gesagt, die Varianz misst, wie weit die einzelnen Werte einer Datenmenge im Durchschnitt vom erwarteten Wert (Mittelwert) abweichen. Eine hohe Varianz bedeutet, dass die Datenpunkte weit voneinander entfernt liegen und somit eine große Streuung aufweisen. Eine niedrige Varianz hingegen bedeutet, dass die Datenpunkte nahe beieinander liegen und somit eine geringe Streuung aufweisen.

Die Varianz ist keine intuitive Größe, da sie in quadrierten Einheiten gemessen wird. Aus diesem Grund wird oft die Standardabweichung verwendet, welche die Quadratwurzel der Varianz ist und somit in den gleichen Einheiten wie die ursprünglichen Daten gemessen wird. Die Standardabweichung ist leichter zu interpretieren und gibt einen direkteren Einblick in die Streuung der Daten.

Die Formel der Varianz

Es gibt verschiedene Formeln zur Berechnung der Varianz, abhängig davon, ob es sich um eine Population (die gesamte Datengrundlage) oder eine Stichprobe (eine Teilmenge der Population) handelt. Beide Formeln basieren jedoch auf dem gleichen Prinzip: die Berechnung der durchschnittlichen quadrierten Abweichung vom Mittelwert.

Varianz einer Population

Für eine Population (also alle vorhandenen Daten) wird die Varianz (oft mit dem griechischen Buchstaben σ² bezeichnet) wie folgt berechnet:

σ² = Σ (x_i - μ)² / N

Wobei:

• σ² die Varianz der Population darstellt.
• Σ das Summenzeichen ist, welches angibt, dass alle Werte addiert werden müssen.
• x_i jeden einzelnen Wert in der Population bezeichnet.
• μ (sprich "mü") den Mittelwert der Population darstellt. Der Mittelwert wird berechnet, indem man alle Werte der Population addiert und durch die Anzahl der Werte teilt: μ = Σ x_i / N
• N die Anzahl der Werte in der Population bezeichnet.

Die Formel bedeutet also: Für jeden Wert x_i wird die Differenz zum Mittelwert μ gebildet. Diese Differenz wird quadriert (um negative Werte zu eliminieren und größere Abweichungen stärker zu gewichten). Alle quadrierten Differenzen werden dann addiert (Σ), und die Summe wird durch die Anzahl der Werte N geteilt, um den durchschnittlichen quadrierten Abstand vom Mittelwert zu erhalten.

Varianz einer Stichprobe

Für eine Stichprobe (also eine Teilmenge der Daten) wird die Varianz (oft mit dem Buchstaben s² bezeichnet) etwas anders berechnet. Der Unterschied liegt in der Division, um eine verzerrungsfreie Schätzung der Populationsvarianz zu erhalten. Die Formel lautet:

s² = Σ (x_i - x̄)² / (n - 1)

Wobei:

• s² die Varianz der Stichprobe darstellt.
• Σ das Summenzeichen ist.
• x_i jeden einzelnen Wert in der Stichprobe bezeichnet.
• x̄ (sprich "x quer") den Mittelwert der Stichprobe darstellt. x̄ = Σ x_i / n
• n die Anzahl der Werte in der Stichprobe bezeichnet.

Der wesentliche Unterschied zur Populationsvarianz ist die Division durch (n - 1) anstelle von n. Dies wird als Bessel-Korrektur bezeichnet und dient dazu, die Varianz der Stichprobe als eine unverzerrte Schätzung der Varianz der Population zu verwenden. Ohne diese Korrektur würde die Stichprobenvarianz die Populationsvarianz tendenziell unterschätzen, besonders bei kleinen Stichprobengrößen. Der Grund dafür ist, dass der Stichprobenmittelwert selbst eine Schätzung des Populationsmittelwerts ist, und die Abweichungen von diesem geschätzten Mittelwert tendenziell kleiner sind als die Abweichungen vom tatsächlichen Populationsmittelwert.

Warum Quadrieren?

Die Quadrierung der Differenzen (x_i - μ) bzw. (x_i - x̄) ist ein entscheidender Schritt in der Berechnung der Varianz. Sie dient primär zwei Zwecken:

1. Eliminierung negativer Werte: Da die Differenzen sowohl positive als auch negative Werte annehmen können (je nachdem, ob der Wert x_i über oder unter dem Mittelwert liegt), würde eine einfache Summe der Differenzen immer Null ergeben (oder nahe Null, aufgrund von Rundungsfehlern). Durch die Quadrierung werden alle Differenzen positiv, sodass sie sich nicht gegenseitig aufheben.
2. Betonung größerer Abweichungen: Die Quadrierung verstärkt den Einfluss größerer Abweichungen vom Mittelwert. Eine Abweichung von 2 wird zu 4, eine Abweichung von 3 wird zu 9, und so weiter. Dies bedeutet, dass Werte, die weit vom Mittelwert entfernt liegen, einen proportional größeren Beitrag zur Varianz leisten. Dies ist wünschenswert, da die Varianz die Streuung der Daten abbilden soll, und größere Abweichungen wichtiger sind als kleinere.

Obwohl die Quadrierung diese Vorteile bietet, führt sie auch dazu, dass die Varianz in quadrierten Einheiten gemessen wird, was ihre direkte Interpretation erschwert. Deshalb wird oft die Standardabweichung verwendet, welche die Quadratwurzel der Varianz ist und somit in den ursprünglichen Einheiten der Daten gemessen wird.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Formel der Varianz ein wichtiges Werkzeug ist, um die Streuung von Daten zu quantifizieren. Sie hilft uns zu verstehen, wie verteilt die Werte einer Datenmenge um ihren Mittelwert liegen. Die Unterscheidung zwischen der Varianz einer Population und der Varianz einer Stichprobe ist entscheidend, um korrekte Schlussfolgerungen über die Daten zu ziehen.